結論から言えば、iPod touch + モバイルWiFiルータで駅メモ！をプレイすることはできます！ただし多少ストレスがかかると思います。
目次
経緯
今でこそiPhoneを持っていますが、2018年10月まではiPod touch + モバイルWiFiルータ + フィーチャーフォン（いわゆるガラケー）の3台持ちでした。数年前はテザリングを実現するためのコストが高かったので、それなりに意味のある組み合わせの1つではあったのですが、さすがに3台持ちをこのまま続けるメリットが無くなってきたので、iPod touchとフィーチャーフォンを捨てて、iPhone + モバイルWiFiルータの2台持ちに変えました…と書くと「あれ、それでも2台持ちなのか！」と思うかもしれませんが、自宅にインターネット回線がなく、また外出先で作業することも多いため、未だにモバイルWiFiルータ（容量実質無制限のUQ WiMAX）を持っています。
さて、2〜3年ほど前からだったと思いますが、駅メモ！という位置ゲームをプレイしています。普段の通勤では大して移動していない（前職では会社から2駅のところに住んでいた）のですが、旅行や出張での移動を記録したいという欲求があり、また以前から位置ゲームとして有名だったコロニーな生活は（少なくとも当時は）iPod touch非対応だったため、たまたまネット広告で見た駅メモ！をプレイしています。連続ログイン記録が350日くらいで途切れたときに悔しい思いをしたりもしました（連続ログイン365日くらいで何かの称号を獲得できるはず）が、今も無課金で地道に続けています。
前述のように2018年10月にiPhoneに変えるまでは、iPod touch + モバイルWiFiルータで駅メモ！をプレイしていました。現在のiPhoneと、iPod touch + モバイルWiFiルータとを比較して思ったことを記載していきます。
通信状況が悪いとチェクインしにくい
そもそもの話になりますが、iPod touchにはGPS機能は付いていません！にも関わらず位置を取得することができます。恐らく、モバイルWiFiルータが基地局との相対位置を取得したりしているのだと思います。そのため、モバイルWiFiルータが電波を拾っていないときは位置を取得できません。また電波が弱いときも、データ通信は可能だとしても位置を取得できないことがあります（基地局からの距離および基地局の緯度経度情報のみを使用しているのであれば、理屈の上では3つ以上の基地局と接続している必要あり？）。
さらに、位置を更新するまでのタイムラグも長くなります。例えばiPhoneで新幹線に乗っていると、位置がほぼ毎秒更新されますが、iPod touch + モバイルWiFiルータだと数秒程度のタイムラグが発生します。
新幹線だとチェックインしにくい
例えば東海道新幹線で駅メモ！をiPhoneでプレイする場合、熱海駅の前後ではトンネルに入るため位置を取得できないものの、熱海駅前後ではGPSで位置をすばやく取得するため、熱海駅にチェックインすることができます。一方、iPod touch + モバイルWiFiの場合、まずWiMAXの電波だけでは新幹線で熱海駅通過中に位置情報を取得するのは難しく、チェックインの成否は運次第になります（これは新幹線が速すぎる上に前後がトンネルのため、熱海駅近辺がWiMAX圏内だと認識するのに時間がかかるため。もちろん在来線でゆっくり行った場合はチェックイン可能）。私のモバイルルータの場合はau回線の電波も使用できるようになっていますが、auの電波を利用するモードであっても、熱海駅のチェックインの成否は運次第になります。
ただし、新幹線乗車中は電波を全くつかめないかと言うとそうでもなく、基地局が多い区間では乗車中もチェックイン可能です。田畑が広がっている区間では厳しいものの、都市部や住宅地ではiPod touch + モバイルWiFiでも新幹線乗車中にチェックインすることは可能です。
地下ではチェックインしにくい
地下の場合iPhoneでも位置情報を取りにくいですが、iPod touch + モバイルWiFiだとさらに取りにくくなります。例えば私が通勤で使っている東京都内の地下鉄では、iPhoneだとたまに地下鉄からでもチェックインできますが、iPod touch + モバイルWiFiだと、前述のau回線を使用するモードであっても、データ通信は可能なのにも関わらず位置情報を取ることができず、チェックインは困難です。
まわりに人家がない場所だとチェックインしにくい
まわりに人家がなく基地局が少ない場所（例えばJR釧網本線の中間あたり）でも、位置情報を取得しにくいためチェックインは困難です。
海外でもチェックイン可能
実は海外でも、位置情報さえ取得できればチェクインは可能です。海外に行くときは空港で海外用モバイルWiFiをレンタルしたり、ホテルのWiFiを使用したりすると思いますが、（国や機種にもよるかもしれませんが）私の経験ではそれらのWiFiを使っていても位置情報を取得できました。
例えば日本からヨーロッパに行って現地でチェックインすると、1日で9,000km以上移動した扱いになります（ホーム画面では999kmとしか表示されないが、マスターレポートには残る）。ただし駅メモ！は日本国内の駅しか見ていないため、例えばヨーロッパでチェックインすると、日本で最も西にある駅（ゆいレールの沖縄空港駅）ばかりチェックインすることになります。ヨーロッパ滞在中は実質的に1駅しかチェックインできませんが、少なくともログイン記録は残せる（データ通信さえできれば、チェックインしなくてもアプリを起動することでログインはできる）のと、総移動距離を増やすことができます。
海外の駅にも対応してもらえると面白くなりますが、普通に考えると難しいだろうな…。